真理値表
真理値表とは
真理値表または真理値表は、論理的推論の分野で広く使用されている数学的ツールです。 その目的は、複合命題（2つ以上の単純な命題によって形成される議論）の論理的妥当性を検証することです。
複合命題の例：
- ジョンは背が高く、マリアは背が低い。
- ペドロは背が高いか、ジョアナは金髪です。
- ペドロの身長が高い場合、ジョアナは赤です。
上記で構成された命題のそれぞれは、太字の接続詞によって結合された2つの単純な命題によって形成されます。 それぞれの単純な命題は真実でも偽でもあり得、これは複合命題の論理的価値を直接暗示します。 「 ジョンは身長が高く、メアリーは身長が低い 」という句を採用すると、この文の評価は次のようになります。
- ジョンが背が高くメアリーが低い場合、「ジョンは背が高くメアリーは低い」という句は真です。
- ジョンが背が高くメアリーが低くない場合、「ジョンは背が高くメアリーは低い」という句は偽です。
- ジョンが背が高くなく、メアリーが低い場合、「ジョンは背が高く、メアリーは低い」というフレーズはFALSEです。
- ジョンが背が高くなく、メアリーが低くない場合、「ジョンは背が高く、メアリーは低い」というフレーズは偽です。
真理値表は、この同じ推論を体系化したものです（下記の接続詞のトピックを参照）。 さらに、真理値表の規則は、文中の命題の数に関係なく適用できます。
それはどのように機能しますか？
まず、質問の命題を論理で使われる記号に変えます。 広く使用されているシンボルリストは次のとおりです。
| シンボル | 論理演算 | 意味 | 例 |
|---|---|---|---|
| p | 。 | 命題1 | p =ジョンは背が高い。 |
| q | 。 | 命題2 | q =メアリーは低いです。 |
| 〜 | 否認 | しないでください | もしジョンが背が高いなら、 " 〜p "は偽です。 |
| ^ | 接続詞 | そして | p ^ q =ジョンは背が高くメアリーは低いです。 |
| v | 選言 | または | p v q =ジョンは背が高いか、メアリーは低いです。 |
| → | 条件付き | もしそうなら | p → q =ジョンが背が高いならメアリーは低いです。 |
| （すなわち | 二条件 | 場合に限り | p↔q =メアリーが低い場合に限りジョンは背が高い。 |
次に、複合命題の評価のすべての可能性を含む表を提示し、肯定を記号で置き換えます。 2つより多くの命題がある場合には、それらが文字r 、 sなどで象徴されることがあることを明確にする価値があります。
最後に、示された接続詞によって定義された論理演算が適用されます。 上記のリストによると、これらの操作は、否定、接続、選言、条件付き、および2条件付きです。
否認
拒否は〜で表されます。 否定の論理演算は最も単純であり、しばしば真理値表の使用を不要にします。 同じ例に従うと、Johnが背が高くない（p）ならば、Johnは背が高くない（〜p）はFALSEであり、その逆も同様です。
接続詞
接続詞は^で表されます。 例「ジョンは背が高く、メアリーは低い」は「p ^ q」で表され、真理値表は次のようになります。
接続詞は累積という考えを示唆しているので、単純な命題の1つが偽であるならば、複合命題が真実であることは不可能です。
結論 ：連言的複合命題（接続詞eを含む）は、それらの要素がすべて当てはまる場合にのみ当てはまります。
例：
- パウロ、レナート、トゥリオは親切でキャロラインは面白いです。 - Paulo、Renato、Tulioが優しくない、またはCarolinaが面白くない場合、命題はFALSEになります。 複合命題が真になるように、 すべての情報が真実であることが必要です。
選言
選言はvで表されます。 上の例の接続詞を「ジョンは背が高い、またはメアリーは背が低い」と交換するか 、 または 「私たちは低い」となります。 この場合、文は "p v q"で表され、真理値表は次のようになります。
選言は交代という考えを意味するので、複合命題もそうであるように単純な命題の1つが真実であれば十分です。
結論 ：選言的な複合命題（ または接続詞を含む）は、それらの要素がすべて偽である場合にのみ偽になります。
例：
- 私の母、私の父、または私の叔父は私に贈り物をするでしょう。 - 言明が真実であるためには、母親、父親または叔父のうちの1人だけが贈り物をすれば十分です。 それらのどれもがそれを与えないならば、命題は偽になるでしょう。
条件付き
条件は→で表されます。 それは接続詞自体によって表現され、そして因果関係の中で単純な命題を相互接続します。 例 "PauloがCariocaの場合、彼はブラジル人です"は "p → q"となり、真理値表は次のようになります。
条件文には1つの先行詞と1つの必然的命題があり、結合詞で区切られています。 条件付き分析では、先行詞と帰結詞の含意の関係を考慮して、命題が可能である可能性がある事例を評価する必要がある。
結論 ：条件付き複合命題（接続詞がある場合のみ）は、最初の命題がtrueで2番目の命題がfalseの場合にのみfalseになります。
例：
- もしパウロがカリオカなら、彼はブラジル人です。 - この命題が真と見なされるためには、それが可能であるケースを評価する必要がある。 上記の真理値表によると、次のようになります。
- パウロはブラジル人/パウロはブラジル人= POSSIBLE
- パウロはカリオカです/パウロはブラジル人ではありません=不可能
- PauloはCariocaの出身ではない/ Pauloはブラジル人= POSSIBLE
- パウロはカリオカではない/パウロはブラジル人ではない= POSSIBLE
二条件
2条件は↔で表されます。 それは、それらが単純な命題を等価関係に相互接続する場合に限り 、接続詞を通して読まれる。 例「ジョンは、マリアが微笑んでいるときにだけ幸せです」。 は " p↔q "となり、真理値表は次のようになります。
二条件は相互依存の考えを示唆しています。 名前自体が示すように、2条件式は2つの条件式から構成されます。1つはpからqに離れる方向（p → q）、もう1つは反対方向（q → p）です。
結論 ：2条件構成の命題（接続詞がある場合に限りそれを含む）は、すべての命題が真の場合、またはすべての命題が偽の場合にのみ成立します。
例：
- マリアが微笑むのであれば、ジョンは幸せです。 -つまり、
- もしジョンが幸せなら、マリアは微笑みますそしてマリアが微笑むなら、ジョンは幸せです= TRUE
- ジョアンが幸せでなければ、マリアは笑わず、マリアが笑わなければ、ジョアンは幸せではない= TRUE
- ジョンが幸せなら、メアリーは笑わない=偽
- ジョンが幸せでなければ、マリアの笑顔は=偽
一般的な概要
真理値表の学者が各論理演算の結論を暗記するのは一般的です。 問題解決の時間を節約するために、常に次の点に注意してください。
- 連言命題：それらはすべての要素が真実である時にだけ真実になるでしょう。
- 選言的命題：それらはすべての要素が偽であるときにのみ偽になります。
- 条件付き命題：最初の命題が真であり、2番目の命題が偽であるときだけ、それらは偽になります。
- 二条件付命題：すべての要素が真実である場合、またはすべての要素が偽である場合にのみ真実となります。
